Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，na_n+1=2（n十1）a_n+n（n+1），（n∈N^*），
（I）若，试证明数列{b_n}为等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和Sn．

Answer

（Ⅰ）利用数列递推式，证明bn+1=2bn，即可证明数列{bn}为等比数列；
（II）利用，可数列{an}的通项公式an，利用错位相减法可求数列的和．
（Ⅰ）证明：∵nan+1=2（n+1）an+n（n+1），∴，…（2分）
∴，即bn+1=2bn，
又b1=2，所以{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知，∴，∴，…（8分）
∴=1×2+2×22+3×23+…+n•2n-（1+2+3+…+n）=．…（10分）
令，
则，
两式相减得：，．…（12分）
∴．…（13分）