Question

已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函数y=f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

Answer

（1）利用f'（-1）=0，可求得函数解析式，进而可研究函数的单调性，从而确定极值，进而可知最值；
（2）根据切线与横轴平行，对函数求导，使得到函数等于0有实根，得到关于一元二次方程的判别式，求出结果．
【解析】
（1）∵f'（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2．         …（2分）
∴．
由f'（x）＞0，得x＜-1或；                     …（4分）
由f'（x）＜0，得．因此，函数f（x）的单调增区间为，；
单调减区间为．                                   …（6分）
f（x）在x=-1取得极大值为f（-1）=2；f（x）在取得极小值为．
由∵，f（1）=6且
∴f（x）在[-，1]上的最大值为f（1）=6，最小值为．   …（8分）
（2）∵f（x）=x3+ax2+x+a，∴f'（x）=3x2+2ax+1．
∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解．   …（10分）
∴△=4a2-4×3×1≥0，∴a2≥3，即 ．
因此，所求实数a的取值范围是．             …（12分）