Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥CD；
（Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer

（I）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD⊥EP且AB⊥EP，从而得到 PE⊥平面ABCD．再结合线面垂直的性质定理，可得PE⊥CD；
（II）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E、C、D、P各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE一个法向量=（1，-2，0），最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC与平面PDE所成角的正弦值为．
【解析】
（Ⅰ）∵AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，∴AD⊥EP．
又∵△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，∴AB⊥EP．
∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD．
∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．…（5分）
（Ⅱ）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．
=（2，1，0），=（0，0，），=（1，-1，-）．
设=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量．
由 ，令x=1，可得=（1，-2，0）．…（9分）
设PC与平面PDE所成的角为θ，得
=
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为． …（12分）