Question

已知数列．
（Ⅰ）证明：{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer

（I）由已知中，化简可得bn-bn-1=1，进而根据等差数列的定义可得结论
（II）由（I）求出数列{an}的通项公式，进而利用错位相减法，可得答案．
（III）结合（I）的结论，求出数列{cn}的通项公式，进而利用裂项相消法，求出数列{cn}的前n项和Tn，进而求出m的值，
【解析】
（Ⅰ）证明：∵=，
∴bn-bn-1=1（n≥2），
∴{bn}是公差为1，首项为的等差数列…（4分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知bn=2+（n-1）•1=n+1，
即，
∴，
∴，…（6分）
令，
∴，
∴==4+2n+1-4-n•2n+1-2n+1=-n•2n+1，
∴，∴．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
=…（12分）
∴，
依题意有，
解得-1＜m＜6，
故所求最大正整数m的值为5…（14分）