Question

已知中心在坐标原点、焦点在x轴上椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左，右焦点分别是F₁和F₂，直线l₁过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁于点P，求线段PF₁的垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．

Answer

（1）设出椭圆的方程，利用椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）利用线段PF1的垂直平分线与l2的交点为M，可得|MF1|=|MP|，由此可得M的轨迹方程及曲线类型．
【解析】
（1）依题意设所求椭圆方程为
∵椭圆的离心率，
∴，∴2a2=3b2①
又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．
即原点到直线y=x+2的距离为b，所以，代入①中得
所以，所求椭圆方程为．…（6分）
（2）由得F1、F2点的坐标分别为（-1，0），（1，0），
设M点的坐标为（x，y），由题意：P点坐标为（1，y），
因为线段PF1的垂直平分线与l2的交点为M，
所以|MF1|=|MP|，∴，∴y2=-4x
故线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程是y2=-4x，
该轨迹是以F1为焦点的抛物线．…（12分）