Question

已知点A（1，1），B（1，-1），C（cosθ，sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．
（1）若||=，求sin2θ的值；
（2）若实数m，n满足m+n=，求（m-3）²+n²的最大值．

Answer

（1）根据向量的坐标计算（终点坐标减始点坐标）求出，然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件||=得出sinθ+cosθ=再两边平方即可得解．
（2）根据向量相等和条件m+n=求出然后再代入（m-3）2+n2中可得（m-3）2+n2=-3（sinθ+cosθ）+10再结合辅助角公式可得（m-3）2+n2=-6sin（θ+）+10从而可得出当sin（θ+）=-1时，（m-3）2+n2取得最大值16．
【解析】
（1）∵|-|=||，A（1，1），B（1，-1），C（cosθ，sinθ）
∴=（cosθ-1，sinθ-1）
∴||2=（cosθ-1）2+（sinθ-1）2=-2（sinθ+cosθ）+4．
∴-2（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=，
两边平方得1+sin2θ=，
∴sin2θ=-．
（2）由已知得：（m，m）+（n，-n）=（cosθ，sinθ），
∴
解得
∴（m-3）2+n2=m2+n2-6m+9，
=-3（sinθ+cosθ）+10
=-6sin（θ+）+10，
∴当sin（θ+）=-1时，（m-3）2+n2取得最大值16．