Question

已知函数f（x）=log₂（3+2x-x²）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证f（x）在x∈（1，3）上是减函数；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer

（1）直接利用真数大于0解不等式即可求函数f（x）的定义域；
（2）先利用定义推出真数在x∈（1，3）上是减函数，再利用复合函数的单调性证明即可；
（3）先利用二次函数在固定区间上求值域的方法求出真数的取值范围，再代入整个函数，利用以2为底的指数函数在定义域内单调递增即可解题．
【解析】
（1）由3+2x-x2＞0得-1＜x＜3，函数f（x）的定义域是{x|-1＜x＜3}
（2）设1＜x1＜x2＜3，则3+2x2-x22-（3+2x1-x12）=（x1-x2）（x1+x2-2），
∵1＜x1＜x2
∴3+2x2-x22-（3+2x1-x12）＜0，∴3+2x2-x22＜3+2x1-x12，
∴log2（3+2x2-x22）＜log2（3+2x1-x12）．
∴f（x）在x∈（1，3）上是减函数．
（3）当-1＜x＜3时，有0＜3+2x-x2≤4．
f（1）=log24=2，所以函数f（x）的值域是（-∞，2]．