定义域在R的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），...

定义域在R的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（3）=6，
（ I）求f（0），f（1）；
（ II）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（ III）若对于任意 manfen5.com 满分网

都有f（kx²）+f（2x-1）＜0成立，求实数k的取值范围．

（I）取x=0代入函数满足的等式，整理可得f（0）=0．再根据3=1+2=1+1+1，结合定义和f（3）=6，算出f（1）=2；（II）以-x取代y，代入函数满足的等式，可得f（x）+f（-x）=0，由此可得f（x）是奇函数；（III）根据函数是单调函数且f（0）＜f（1），得f（x）是定义域在R上的增函数．再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为kx2＜1-2x在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出k的取值范围．【解析】（ I）取x=0，得f（0+y）=f（0）+f（y），即f（y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0， ∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1） ∴结合f（3）=6，得3f（1）=6，可得f（1）=2；（II）取y=-x，得f（0）=f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=0 移项得f（-x）=-f（x） ∴函数f（x）是奇函数；（III）∵f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x-1）＜0在上恒成立， ∴f（kx2）＜f（1-2x）在上恒成立，又∵f（x）是定义域在R的单调函数，且f（0）=0＜f（1）=2， ∴f（x）是定义域在R上的增函数． ∴kx2＜1-2x在上恒成立． ∴在上恒成立．令，由于，∴． ∴g（x）min=g（1）=-1．∴k＜-1．则实数k的取值范围为（-∞，-1）．

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考点分析：

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已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（Ⅰ）函数 manfen5.com 满分网

是否属于集合M？说明理由：
（Ⅱ）若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件．

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设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=f（x）的图象时顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分
（1）求函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在右面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）值域．

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已知集合A={x|x²-10x+21≤0}，B={x|2＜x＜6}，C={x|x＜a}，U为全集R，
（ I）求A∪B；
（ II）求A∩（C_UB）；
（ III）如果C∩B≠∅，求a的取值范围．

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对于实数a和b，定义运算“*”： manfen5.com 满分网

，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则实数m的取值范围是；x₁+x₂+x₃的取值范围是．查看答案

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试题属性

题型：解答题
难度：中等