Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=的前n项和为T_n，求证．

Answer

（1）利用S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，确定两个方程，即可求{an}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．
（1）【解析】
设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，
又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），
∴an=a2+（n-2）d=3n-2；----------------------（6分）
（2）证明：bn==（3n-2）•，
∴Tn=1×+4×+…+（3n-2）•，①
∴Tn=1×+4×+…+（3n-5）•+（3n-2）•，②
①-②得，Tn=+3×+3×+…+3•-（3n-2）•=--（3n-2）•
∴Tn=-．-------------------------（12分）