Question

如图，在直角梯形ABEF中，将四边形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一个空间几何体．
（1）在线段DF上找点G，使得AG∥平面BEF；
（2）求证：AF⊥面ABCD；
（3）作出直线EF与平面ABCD所成角，并求该角的正切值．

Answer

（1）取FD中点为G，连接GE，可证出四边形ABEG为平行四边形，得AG∥BE，结合线面平行的判定定理，可得AG∥平面BEF．
（2）利用余弦定理和勾股定理的逆定理，证出△FDA中AF⊥AD，根据AD⊥AB，DF⊥AB得AB⊥平面ADF，从而得AF⊥AB，最后利用线面垂直判定定理，可证出AF⊥面ABCD；
（3）延长FE与DC延长线交于点N，连接AN交BC于点O，可得∠ANF是EF与平面ABCD所成的角．Rt△AFN中，根据正切在直角三角形中的定义，算出tan∠ANF==，即得EF与平面ABCD所成角正切值．
【解析】
（1）取FD中点为G，连接GE，则
∵梯形DCEF中，DG∥CE且DG=CE=1
∴四边形DCEF是平行四边形，
∴GE∥DC且 GE=DC，
∵AB∥DC且AB=DC，
∴GE∥AB且AB=GE，
∴四边形ABEG为平行四边形，得AG∥BE，
∵AG⊄平面BEF，BE⊂平面BEF，
∴AG∥平面BEF．
 （2）∵△FDA中，∠FDA=60°，AD=1，DF=2
∴AF2=AD2+DF2-2AD•DF∠FDA=3，得AF2+AD2=DF2，
由此可得AF⊥AD，
∵AD⊥AB，DF⊥AB，AD、DF是平面ADF内的相交直线
∴AB⊥平面ADF，结合AF⊂平面ADF，得AF⊥AB
∵AB、AD是平面ABCD内的相交直线
∴AF⊥面ABCD；
（3）延长FE与DC延长线交于点N，连接AN交BC于点O．
∵AF⊥面ABCD，
∴AN是直线EF在平面ABCD内的射影，∠ANF是EF与平面ABCD所成的角．
∵EC是△FDN的中位线，
∴C为DN的中点．而BC∥AD，所以O为AN中点．
正方形ABCD中，可得AO==，AN=2AO=
∴Rt△AFN中，tan∠ANF==，即EF与平面ABCD所成角正切值为．