Question

选修4-5：不等式选讲：
（1）已知f（x）=|x-a|，若不等式f（x）≤2解集为{x|-1≤x≤3}，求a的值；
（2）若log₂（|x-a|+|x-3|）≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据不等式解集的端点与方程根之间的关系，我们可得-1和3为方程f（x）=2的两根，进而根据绝对值的定义，可得a的值；
（2）根据对数函数的性质，可将已知转化为|x-a|+|x-3|≥4恒成立，利用绝对值的性质可得|a-3|≥4，进而根据“大于看两边，小于看中间”，可得a的取值范围
【解析】
（1）∵不等式f（x）≤2解集为{x|-1≤x≤3}，
∴-1和3为方程f（x）=2的两根
即|-1-a|=|3-a|=2
解得：a=1
（2）若log2（|x-a|+|x-3|）≥2恒成立，
∴|x-a|+|x-3|≥4恒成立，
又∵|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|a-3|
∴|a-3|≥4，
∴a-3≥4或a-3≤-4
解得a≥7或a≤-1