Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆T经过．
（I）求椭圆T的标准方程；
（II）椭圆T上是否存在点E（m，n）使得直线l：x=my+n交椭圆于M，N两点，且？若存在求出点E坐标；若不存在说明理由．

Answer

（I）设椭圆方程为mx2+ny2=1，将坐标代入方程，即可求得椭圆的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及，即可求得结论．
【解析】
（I）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）
将坐标代入方程，得，∴，
∴椭圆的方程为…（4分）
（II）联立方程，消去x可得（m2+3）y2+2mny+n2-3=0，
设M（x1，y1）、N（x2，y2）
∴…（6分）
∴，即y1y2+（my1+n）（my2+n）=0
所以，
将韦达代入上式，化简得：4n2=3（m2+1）①…（8分）
又点E（m，n）在椭圆上，∴，∴②
由①②得，
所以…（12分）