Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer

（1）根据题意，设f（x）=ax（x-5）（a＞0），可得函数图象的对称轴x=，恰好位于区间[-1，4]，得f（x）的最大值是f（-1）=6a=12，得a=2，可得函f（x）数的表达式；
（2）分t+1时、t时和＜t＜时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最小值，最后综合可得g（t）的表达式．
【解析】
（1）f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可设f（x）=ax（x-5）（a＞0），
可得在区间f（x）在区间[-1，]上函数是减函数，区间[，4]上函数是增函数
∵f（-1）=6a，f（4）=-4a，f（-1）＞f（4）
∴f（x）在区间[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a=12，得a=2．
因此，函数的表达式为f（x）=2x（x-5）=2x2-10x（x∈R）．
（2）由（1）得f（x）=2（x-）2-，函数图象的开口向上，对称轴为x=
①当t+1时，即t时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
此时f（x）的最小值g（t）=f（t+1）=2（t+1）2-10（t+1）=2t2-6t-8；
②当t时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
此时f（x）的最小值g（t）=f（t）=2t2-10t；
③当＜t＜时，函数y=f（x）在对称轴处取得最小值
此时，g（t）=f（）=-
综上所述，得g（t）的表达式为：g（t）=