Question

已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-x²+2x+1．
（1）求f（x）的解析式，并作出图象；
（2）求f（x）最大值，并写出f（x）的单调区间．

Answer

（1）设x＜0，则-x＞0，根据函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-x2+2x+1，可得函数解析式，从而可得函数的图象；
（2）利用函数的图象，可得函数的单调区间与函数的最大值．
【解析】
（1）设x＜0，则-x＞0
因为函数f（x）为R上的偶函数，所以f（x）=f（-x）=-x2-2x+1
所以f（x）=…（4分）
图象如图
．…（6分）
（2）由图象可知：f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0，1），f（x）的单调减区间为（-1，0），（1，+∞）…（8分）
f（x）的最大值为2．…（10分）