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定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f...

定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为( )
A.0
B.1
C.3
D.5
分别分析(0,T)和(-T,0)函数的根的数量. 【解析】 因为函数是奇函数,所以在在闭区间[-T,T],一定有f(0)=0, ∵T是f(x)的一个正周期,所以f(0+T)=f(0)=0,即f(T)=0,所以f(-T)=-f(T)=0, ∴-T、0、T是f(x)=0的根,若在(0,T)上没有根,则恒有f(x)>0或f(x)<0; 不妨设f(x)>0,则x∈(-T,0)时,f(x)<0,但又有f(x)=f(x+T)>0,矛盾. ∴f(x)=0在(0,T)上至少还有一个根. 同理,在(-T,0)上也至少还有一个根, ∴至少有5个根. 故选D
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考点分析:
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A.32
B.16
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