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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1
(2)求二面角C1-AB-C的正切值.

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(1)连接C1B,设CB1与C1B的交点为E,连接DE,由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC1的中点,由此能够证明AC1∥平面CDB1. (2)由直棱柱知C1C垂直平面ABC,过点C作CF⊥AB于F,连接C1F则C1F⊥AB,则∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角.由此能求出二面角C1-AB-C的正切值. 证明:(1)连接C1B,设CB1与C1B的交点为E, 连接DE,由四棱柱侧面为平行四边形知 E是BC1的中点, ∵D是AB的中点,∴DE∥AC1,…(3分) ∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1, ∴AC1∥平面CDB1.…(6分) (2)由直棱柱知C1C垂直平面ABC,过点C作CF⊥AB于F,连接C1F则C1F⊥AB ∴∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, ∵底面三边长AC=3,AB=5,BC=4,∴AC⊥BC, 在Rt△ABC中,CF==, 又CC1=AA1=4,∴tan, ∴二面角C1-AB-C的正切值为.
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考点分析:
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  • 题型:解答题
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