Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的正切值．

Answer

（1）连接C1B，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC1的中点，由此能够证明AC1∥平面CDB1．
（2）由直棱柱知C1C垂直平面ABC，过点C作CF⊥AB于F，连接C1F则C1F⊥AB，则∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角．由此能求出二面角C1-AB-C的正切值．
证明：（1）连接C1B，设CB1与C1B的交点为E，
连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知
E是BC1的中点，
∵D是AB的中点，∴DE∥AC1，…（3分）
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．…（6分）
（2）由直棱柱知C1C垂直平面ABC，过点C作CF⊥AB于F，连接C1F则C1F⊥AB
∴∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，CF==，
又CC1=AA1=4，∴tan，
∴二面角C1-AB-C的正切值为．