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已知数列{an} 中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N). (...

已知数列{an} 中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N).
(1)写出a2、a3的值(只写结果)并求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网+…+manfen5.com 满分网,求bn的最大值.
(1)由a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N),分别令n=1,n=2,能够得到a2,a3.再由迭代法求出,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),…,a3-a2=2×3,a2-a1=2×2,由此利用累加法能够求出数列{an}的通项公式. (2)由(1)借助裂项求和法能够推导出=.构造函数f(x)=2x+(x≥1),得到f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,由此能够求出bn的最大值. 【解析】 (1)∵a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N), ∴a2=6,a3=12.…(2分) 当n≥2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),…,a3-a2=2×3,a2-a1=2×2, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1+an-2)+(an-an-1) =2[1+2+3+…(n-1)+n] =2×=n(n+1).…(5分) 当n=1时,a1=1×(1+1)=2也满足上式,…(6分) ∴数列{an}的通项公式为an=n(n+1).…(7分) (2) =+…+ =+…+ = = =.…(10分) 令f(x)=2x+(x≥1), 则,当x≥1时,f′(x)>0恒成立, ∴f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3.…(13分) 即当n=1时,(bn)max=.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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