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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为A...

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,A1A=AB=2,BC=3.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2) 求四棱锥B-AA1C1D的体积.

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(1)欲证AB1∥平面BC1D,根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行,连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD,根据中位线定理可知OD∥AB1,OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,满足定理所需条件; (2)根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C,作BE⊥AC,垂足为E,则BE⊥平面AA1C1C,然后求出棱长,最后根据四棱锥B-AA1C1D的体积求出四棱锥B-AA1C1D的体积即可. 【解析】 (1)证明:连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD, ∵四边形BCC1B1是平行四边形, ∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点, ∴OD为△AB1C的中位线, ∴OD∥AB1.(3分) ∵OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D, ∴AB1∥平面BC1D.(6分) (2)∵AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C, ∴平面ABC⊥平面AA1C1C,且平面ABC∩平面AA1C1C=AC. 作BE⊥AC,垂足为E,则BE⊥平面AA1C1C,(8分) ∵AB=BB1=2,BC=3, 在Rt△ABC中,,,(10分) ∴四棱锥B-AA1C1D的体积(12分)==3. ∴四棱锥B-AA1C1D的体积为3.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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