Question

如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求证：四点B、C、G、F共面；
（Ⅱ）求二面角D-BC-F的大小．

Answer

（Ⅰ）设M是DG的中点，证明BF∥AM，AM∥CG，由此能得到四点B、C、G、F共面．
（Ⅱ）以DE为x轴，以DG为y轴，以DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BC-F的大小．
（Ⅰ）证明：取DG的中点M，连接AM，
∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，
AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1
∴BF∥AM，AM∥CG，
∴BF∥CG，
∴四点B、C、G、F共面．
（Ⅱ）以DE为x轴，以DG为y轴，以DA为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，
AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1
∴D（0，0，0），B（2，0，2），C（0，1，2）F（2，1，0），
∴，，，，
设平面DBC的法向量，则，，
∴，解得=（1，2，-1），
设平面FBC的法向量，则，，
∴，解得=（1，2，1），
设二面角D-BC-F的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|=||=．
∴二面角D-BC-F的大小为arccos．