Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：平面A₁CE⊥平面AC₁D．

Answer

（Ⅰ）连接A1C，与AC1交于O点，连接OD．在△A1BC中，利用中位线定理得到OD∥A1B．最后根据线面平面的判定定理，得到A1B∥平面AC1D．          
（II）首先利用直棱柱的性质结合等腰三角形的中线也是高，得到AD⊥平面B1BCC1，所以有AD⊥CE．然后在正方形B1BCC1中，利用中点得到Rt△CBE≌Rt△C1CD，从而证出C1D⊥CE，结合线面垂直的判定定理得到CE⊥平面AC1D．最后根据面面垂直的判定定理，证出平面A1CE⊥平面AC1D．
【解析】
（Ⅰ）连接A1C，与AC1交于O点，连接OD．
∵△A1BC中，O、D分别为AC1和BC的中点，
∴OD∥A1B．…（3分）
又∵OD⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，…（4分）
∴A1B∥平面AC1D．                     …（5分）
（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴B1B⊥AD．
∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC．
又∵BC∩B1B=B，BC、B1B⊂平面B1BCC1
∴AD⊥平面B1BCC1．
∵CE⊂平面B1BCC1，∴AD⊥CE．     …（7分）
∵四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC、BB1的中点，
∴Rt△CBE≌Rt△C1CD，可得∠CC1D=∠BCE．
∴∠BCE+∠C1DC=∠CC1D+∠C1DC=90°，可得C1D⊥CE．…（9分）
∵AD∩C1D=D，AD、C1D⊂平面AC1D
∴CE⊥平面AC1D．
又∵CE⊂平面A1CE，
∴平面A1CE⊥平面AC1D．  …（12分）