Question

本题满分16分）两个数列{a_n}，{b_n}，满足．★（参考公式）
求证：{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列．

Answer

由条件可得 bn+1-bn=an+1 ，bn-bn-1=an，相减可得 an+1 -an═（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1），由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，此时an+1 -an=d+-=，是个常数，从而结论成立．
证明：∵，∴bn+1=，
∴bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①，
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②
②减去①可得 bn+1-bn=（n+1）an+1．
两边同时除以n+1可得 bn+1-bn=an+1 ③，
∴bn-bn-1=an  ④．
③减去④可得 an+1 -an=（  bn+1 - bn ）-（ bn -bn-1 ）
=bn+1 +bn+1 -bn-bn-bn+ bn-1-bn-1 
=（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）+ （bn-bn-1）-（bn-bn-1）
=（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1）．
由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，
此时an+1 -an=d+-=，是个常数．
故：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．