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定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|...

定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=1+x+ax2
(1)当a=-1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
(1)当a=-1时,函数表达式为f(x)=1+x-x2,可得f(x)在(-∞,0)上是单调增函数,它的值域为(-∞,1),从而|f(x)|的取值范围是[0,+∞),因此不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(-∞,0)上的有界函数. (2)函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,即-3≤f(x)≤3在[1,4]上恒成立,代入函数表达式并化简整理,得--≤a≤-在[1,4]上恒成立,接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法,得到(--)max=-,(-)min=-,所以,实数a的取值范围是[-,-]. 【解析】 (1)当a=-1时,函数f(x)=1+x-x2=-(x-)2+ ∴f(x)在(-∞,0)上是单调增函数,f(x)<f(0)=1 ∴f(x)在(-∞,0)上的值域为(-∞,1) 因此|f(x)|的取值范围是[0,+∞) ∴不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(-∞,0)上的有界函数. (2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数, 则|f(x)|≤3在[1,4]上恒成立,即-3≤f(x)≤3 ∴-3≤ax2+x+1≤3 ∴≤a≤,即--≤a≤-在[1,4]上恒成立, ∴(--)max≤a≤(-)min, 令t=,则t∈[,1] 设g(t)=-4t2-t=-4(t+)2+,则当t=时,g(t)的最大值为- 再设h(t)=2t2-t=2(t-)2-,则当t=时,h(t)的最小值为- ∴(--)max=-,(-)min=- 所以,实数a的取值范围是[-,-].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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