Question

一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学在研究此函数时给出以下命题：
①函数f（x）的值域为[-1，1]；     
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③对任意的x₁，x₂∈R，存在x，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x）成立；
④若规定对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述命题中正确的是    ．（请将正确命题的序号都填上）

Answer

利用奇函数的定义判断出f（x）为奇函数，通过对x的分段讨论去掉绝对值转化为分段函数，讨论x≥0的值域、单调性判断，由此可得结论．
【解析】
①∵f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数
∵
当
∵f（x）为奇函数，∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）
∴函数f（x）的值域为f（x）∈（-1，1），故①不正确；
②当为增函数，
∵f（x）为奇函数，∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）为增函数，∴f（x在（-1，1）上为增函数
故②正确；
③对任意的x1，x2∈R，当x1=x2时，存在x=x1，使得f（x1）+f（x2）=2f（x）成立；
当x1≠x2时，不妨设x1＜x2，
∵f（x在（-1，1）上为增函数，f（x1）+f（x2）＜2f（x2），∴f（x）＜f（x2），
∵f（x在（-1，1）上为增函数，∴x＜x2，∴存在x，使得f（x1）+f（x2）=2f（x）成立，故③正确；
④fn（x）=f（f1（x））=f（f（x）==不恒成立，故④不正确；
综上知，命题中正确的是：②③
故答案为：②③