根据函数奇偶性的定义,可证出f(x)是偶函数,得①正确;通过举反例,得到函数的周期不是2π,故②不正确;利用函数g(x)=f(x+π)不是奇函数,得到③不正确; 利用导数研究函数f(x)的单调性,结合函数是偶函数,可得④是真命题.由此可得正确答案.
【解析】
对于①,因为f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),f(x)是偶函数,故①正确;
对于②,因为f()=,f()=,而f()≠f(),所以函数的周期不是2π,故②不正确;
对于③,设f(x+π)=(x+π)sin(x+π)=g(x),则g(x)=-(x+π)sinx,g(-x)=(-x+π)sinx,不满足g(-x)=-g(x),
所以g(x)不是奇函数.因为g(x)图象不关于原点对称,所以f(x)的图象不可能关于(π,0)对称,故③不正确;
对于④,因为f'(x)=sinx+xcosx,当x∈时,f'(x)≥0,所以f(x)在区间上单调递增,
再结合函数为R上的偶函数,可得在区间上单调递减,故④正确.
综上所述,正确的命题是①④
故选A