Question

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（1）求证：EM∥平面ABC；
（2）求出该几何体的体积；
（3）求证：平面BDE⊥平面BCD．

Answer

（1）证明EM∥平面ABC，只需证明EM平行于平面ABC的一条直线，取BC中点N，证明四边形ANME为平行四边形，即可证得结论；
（2）四棱锥B-ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，从而AB⊥平面ACDE，故可求四棱锥B-ACDE的体积；
（3）证明AN⊥平面BCD，利用AN∥EM，可知EM⊥平面BCD，从而可知平面BDE⊥平面BCD．
证明：（1）取BC中点N，连接MN，ME，AN，则MN∥CD，AE∥CD 
又MN=AE=CD，所以四边形ANME为平行四边形，则EM∥AN
由EM⊄平面ABC，AN⊂平面ABC，所以EM∥平面ABC；
（2）由题意可知：四棱锥B-ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC
所以，AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，
则四棱锥B-ACDE的体积为：=
（3）∵AC=AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD
∴AN⊥平面BCD
由（2）知：AN∥EM，∴EM⊥平面BCD
又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD．