Question

若函数y=f（x）在其图象上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，下列函数存在自公切的序号为    ；
①y=ln|x+1|；  ②y=x²-|x|；③y=xcosx；④y=．

Answer

利用新定义，①y=ln|x+1|在（-∞，0）上单调减，（0，+∞）上单调增，不存在自公切线；②y=x2-|x|是偶函数，图象对称的顶点的坐标为，，存在自公切线；③y=xcosx是奇函数，导函数为y′=cosx-xsinx，则x轴为函数的自公切线；④y=的图象为x2-y2=1x轴上方的部分，不存在自公切线，故可得到结论．
【解析】
①y=ln|x+1|在（-∞，0）上单调减，（0，+∞）上单调增，不存在自公切线，故①不存在；
②y=x2-|x|是偶函数，图象对称的顶点的坐标为，，存在自公切线；
③y=xcosx是奇函数，导函数为y′=cosx-xsinx，则x轴为函数的自公切线；
④y=的图象为x2-y2=1x轴上方的部分，不存在自公切线，故④不存在，
故答案为：②③