Question

已知△ABC内角A、C、B成等差数列，A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=3，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值及△ABC的面积．

Answer

由A、C及B成等差数列，利用三角形的内角和定理及等差数列的性质得到C的度数，再由两向量共线，利用两向量共线时满足的条件列出关系式，利用正弦定理化简后得到b=2a，记作①，由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式，记作②，联立①②得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
∵内角A、C、B成等差数列，且A+C+B=π，
∴C=，…（2分）
∵向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，
∴sinB-2sinA=0，…（4分）
由正弦定理=得：b=2a①，…（6分）
∵c=3，由余弦定理得：9=a2+b2-2abcos，即a2+b2-ab=9②，…（8分）
解①②组成的方程组，解得：，…（10分）
则S△ABC=absinC=××2×sin=．…（12分）