Question

直线l过点P（2，1），且分别与x，y轴的正半轴于A，B两点，O为原点．
（1）求△AOB面积最小值时l的方程；
（2）|PA|•|PB|取最小值时l的方程．

Answer

（1）设AB方程为，点P（2，1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面积面积的最小值．
（2）设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件．
【解析】
（1）设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，
AB方程为，点P（2，1）代入得
≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），
故三角形OAB面积S=ab≥4，
此时直线方程为：，
即x+2y-4=0．
（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，
得A（2-，0），B（0，1-2k）．
则|PA|•|PB|==≥4，
当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，
又∵k＜0，
∴k=-1，
这时l的方程为x+y-3=0．