Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[，]，都有f（x）-2mx≤1成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）把条件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c即可；
（2）不等式f（x）-2mx≤1恒成立⇔2（1-m）≤-（x+）在[，]上恒成立，只需要求出[-（x+）]min=-，然后2（1-m）≤-求出m的范围即可．
【解析】
（1）∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得-＜a＜，又∵a、c∈N*，∴a=1，c=2．
（2）由（1）知f（x）=x2+2x+2．
证明：∵x∈[，]，∴不等式f（x）-2mx≤1恒成立⇔2（1-m）≤-（x+）在[，]上恒成立．
易知[-（x+）]min=-，
故只需2（1-m）≤-即可．
解得m≥．