Question

已知f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）．
（1）当x＞0，n＞1时，证明：f（x）＞1+xⁿ．
（2）若a₁，a₂，a₃，a₄为f（x）的展开式中相邻四项的系数，证明：成等差数列．

Answer

（1）将f（x）=（1+x）n按二项式定理展开，与（1+xn）作差即可证得结论；
（2）设a1=，a2=，a3=，a4=，n∈N*，求得+=2•；而2•===2•，从而可证得，成等差数列．
【解析】
（1）∵f（x）-（1+xn）=（1+x）n-（1+xn）（2分）
=（+x1+x2+…+xk+…+xn）-（1+xn）（4分）
=x1+x2+…+xk+…+xn-1＞0（6分）
∴f（x）＞1+xn．（7分）
（2）设a1=，a2=，a3=，a4=，n∈N*，则（9分）
+
=+
=+
=+
=+
=2•．（12分）
而2•===2•．（13分）
∴+=2•．
∴成等差数列．（14分）