Question

已知函数G（x）=ln（1+x）-x，在x∈（0，+∞）时，G（x）的单调递减，且在x∈（0，+∞）时，恒有ln（1+x）＜x．
（1）若在x∈（0，n]，n∈N^*，G（x）_min=G（b_n）的条件下，不等式恒成立，求c的取值范围．
（2）在（1）的条件下，请证明对任意n∈N^*，不等式恒成立．

Answer

（1）根据x∈（0，n]，G（x）单减，可得，不等式恒成立，分离参数可得，求出的最大值，可得c的取值范围；
（2）对任意n∈N*，bn=n，且ln（1+x）＜x，再利用放缩法，即可证得结论．
（1）【解析】
因为x∈（0，n]，函数G（x）=ln（1+x）-x单调递减，
所以G（x）min=G（bn）=G（n），从而
不等式恒成立，即成立
即，
∴当n=1时，取得最大值为2．
故c≥2．    …（6分）
（2）证明：由（1）知，对任意n∈N*，bn=n，且ln（1+x）＜x
∴＜
=，
故得证．…（12分）