Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则
①；
②；
③f（x）是奇函数；
④f（x）的单调递减区间是，（k∈Z）；
⑤f（x）的图象与过点（a，|a|+|b|）的所有直线都相交．
以上结论正确的是    （写出正确结论的编号）

Answer

先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到f（）是三角函数的最大值，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
【解析】
∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），对一切x∈R恒成立
∴sin（2×+θ）=1，即2×+θ=+2kπ
∴θ=2kπ+
∴f（x）=sin（2x+2kπ+）=sin（2x+）
对于①，f（）=sin（2×+）=0，故①正确；
对于②，f（）=sin（2×+）＜0，f（）=sin（2×+）＞0，故②正确；
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③不正确；
对于④，+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得x∈，（k∈Z），故④正确；
对于⑤，直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|a|+|b|＞，而此不等式可能成立，故f（x）的图象与过点（a，|a|+|b|）的所有直线有直线与它不相交．
故答案为：①②④