满分5 > 高中数学试题 >

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意实数a、b∈R满足:f=af...

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意实数a、b∈R满足:f=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=manfen5.com 满分网(n∈N*),bn=manfen5.com 满分网(n∈N*),考察下列结论:
①f(0)=f(1);
②f(x)为偶函数;
③数列{bn}为等差数列;
④数列{an}为等比数列,
其中正确的是    .(填序号)
令x=y=0,得f(0)=f(0•0)=0,令x=y=1得f(1)=f(1•1)=2f(1),∴f(1)=0,可知正确; 用特例,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),故f(x)不是偶函数, f(2n)=f(2•2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n,有bn=bn-1+1,符合等差数列定义; b1═1,bn=1+(n-1)×1=n,f(2n)=2nbn=n2n,an═2n,故数列{an}是等比数列. 【解析】 ∵f(0)=f(0•0)=0,f(1)=f(1•1)=2f(1),∴f(1)=0,①正确; f(1)=f[(-1)•(-1)]=-2f(-1), ∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2), 故f(x)不是偶函数, 故②错; 则f(2n)=f(2•2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n, ∴bn=bn-1+1,∴{bn}是等差数列,④正确; b1═1,bn=1+(n-1)×1=n,f(2n)=2nbn=n2n,an═2n, 故数列{an}是等比数列,③正确. 故答案为:①③④
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
规定记号“a⊗c”表示一种运算,即a⊗b=ab+a+b2(a,b为正实数),若1⊗m=3,则m的值为    查看答案
已知向量manfen5.com 满分网,且A、B、C三点共线,则k=    查看答案
函数manfen5.com 满分网的定义域是    查看答案
已知x+2y=6,则manfen5.com 满分网的最小值是( )
A.manfen5.com 满分网
B.manfen5.com 满分网
C.manfen5.com 满分网
D.5
查看答案
已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标是( )
A.manfen5.com 满分网
B.manfen5.com 满分网
C.manfen5.com 满分网
D.(-1,-1)
查看答案
试题属性

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.