Question

函数（x＞0，a＞0）．
（1）当a=1时，证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）在（0，2）上是减函数，求a的取值范围．

Answer

（1）当a=1时，f′（x）=1-=，由x＞1可得f′（x）＞0，从而得f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）先求出f′（x）=1-=，由题意可得当x∈（0，2）时，x2-a≤0恒成立，故a≥22=4．
证明：（1）当a=1时，（x＞0，a＞0），f′（x）=1-=．…（2分）
∵x＞1，∴x2＞1，即 x2-1＞0，∴＞0，即 f′（x）＞0，…（5分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．   …（6分）
（2）f′（x）=1-=，…（7分）
使f（x）在（0，2）上是减函数，则当x∈（0，2）时，x2-a≤0恒成立，…（9分）
即a≥x2恒成立，即a≥22=4，∴a≥4．    …（12分）