Question

已知点F₁、F₂为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d，若|PF₁|、|PF₂|、d依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．，+∞）
B．（1，
C．（1，
D．[2，

Answer

根据双曲线的定义，结合等差数列的含义，得到|PF2|-|PF1|=d-|PF2|=-2a，再用圆锥曲线的统一定义，得到，因此d-|PF2|=d（1-e）=-2a，得到d=，最后根据双曲线右支上一点到右准线的距离的取值范围，得d≥a-，建立关于a、c和e的不等式，解之即得此双曲线的离心率的取值范围．
【解析】
∵|PF1|、|PF2|、d依次成等差数列，
∴|PF2|-|PF1|=d-|PF2|，
∵P为双曲线右支上一点，（a＞0，b＞0）
∴|PF2|-|PF1|=-2a=d-|PF2|，
设双曲线的离心率是e，根据圆锥曲线的统一定义，
得到，所以d-|PF2|=d（1-e）=-2a
∴根据双曲线右支上一点到右准线的距离的取值范围，得：d=≥a-，
上式的两边都除以a，得：≥1-，解此不等式得：≤e≤
又∵双曲线的离心率e＞1，
∴e∈
故选C