Question

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M（0，-1），若斜率为k（k≠0）的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|=|MB|，试求k的取值范围．

Answer

（1）根据动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，可得动点P是以F1，F2为焦点的椭圆，从而可求动点P的轨迹方程；
（2）设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程，利用|MA|=|MB|，及方程有两个实数根，即可求得k的取值范围．
【解析】
（1）∵x2-y2=1，
∴c=．
∵动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为
∴|PF1|+|PF2|=
∵|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|＞|F1F2|
∴动点P是以F1，F2为焦点的椭圆，且a=，b=1
∴P点的轨迹方程为+y2=1．
（2）设l：y=kx+m（k≠0），则
将②代入①得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0  （*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点Q（x，y）的坐标满足：
x=
即Q
∵|MA|=|MB|，∴M在AB的中垂线上，
∴k•=-1，
∴m=…③
又由于（*）式有两个实数根，知△＞0，
即 （6km）2-4（1+3k2）[3（m2-1）]=12（1+3k2-m2）＞0  ④，
将③代入④得12[1+3k2-（）2]＞0，
解得-1＜k＜1，由k≠0，
∴k的取值范围是k∈（-1，0）∪（0，1）．