Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且
（1）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n-b_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．

Answer

（1）由题设得an+bn=（an-1+bn-1）+1（n≥2），由此能求出{cn}的通项公式．
（2）由题设得，知{an-bn}是首项为a1-b1=1，公比为的等比数列．由此能求出其通项公式．
（3）由解得，由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和公式．
【解析】
（1）∵数列{an}、{bn}满足a1=2，b1=1，
且，
∴an+bn=（an-1+bn-1）+1（n≥2）（2分）
即cn=cn-1+1（n≥2）．
∴{cn}是首项为a1+b1=3，公差为1的等差数列．
故通项公式为cn=n+2（5分）
（2）由题设得（7分）
∴{an-bn}是首项为a1-b1=1，公比为的等比数列．
∴通项公式为（10分）
（3）由，
解得（12分）
∴
=．（15分）