Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-
（1）求证：f（x）+f（-x）=0
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）求f（X）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer

（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 代入即证
（2）设x2＞x1则x2-x1＞0，由已知当x＞0时，f（x）＜0可得f（x2-x1）＜0，则f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）＜f（x1）可证
（3）由（2）可得f（x）在[-3，3]上单调递减，且f（1）=-，从而可得函数有最小值，f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）；函数有最大值，f（-3）=-f（3）可求
（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
（2）证明：设x2＞x1则x2-x1＞0
∵当x＞0时，f（x）＜0
∴f（x2-x1）＜0
∴f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）＜f（x1）
∴函数f（x）是R上的减函数
（3）【解析】
由（2）可得f（x）在[-3，3]上单调递减，且f（1）=-
当x=3时函数有最小值，f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2
当x=-3时函数有最大值，f（-3）=-f（3）=2
从而可得函数的最值为2，最小值为-2．