Question

若集合A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={}，其中a_i（1≤i≤5）∈N₊，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，如果A∩B={a₃，a₄}且a₃+a₄=13，A∪B中的所有元素的和为247．
（1）求a₃，a₄；      
（2）求集合A．

Answer

（1）根据题意，分析可得a3，a4是两个正整数的平方，且a3+a4=13，a3＜a4，进行验证可得答案；
（2）由（1）的结论，分析可得A中必有元素2、3，B中必有元素16、81，再设A中最后的一个元素为x，则B中还有元素x2，可得集合A、B，进而可得A∪B，依题意可得2+3+4+9+16+81+x+x2}=243，解可得x的值，即可得答案．
【解析】
（1）根据题意，A∩B={a3，a4}，
则a3，a4是两个正整数的平方，
又有a3+a4=13，且a3＜a4，
则a3=4，a4=9；
（2）由（1）可得，a3=4，a4=9，
则A中必有元素2、3，B中必有元素16、81，
设A中最后的一个元素为x，则B中还有元素x2，
即A={2，3，4，9，x}，B={4，9，16，81，x2}
则A∪B={2，3，4，9，16，81，x，x2}，
依题意，有2+3+4+9+16+81+x+x2}=243，
解可得，x=11；
则A={2，3，4，9，11}．