Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足．
（1）求证：是等差数列；
（2）求a_n的表达式；
（3）若b_n=-2a_n（n≥2），求证：b₂+b₃+…+b_n＜1．

Answer

（1）根据-an=2Sn•Sn-1，可得-Sn+Sn-1=2SnSn-1（n≥2），从而可得，故可得是以2为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）得，再利用当n≥2时，，当n=1时，，即可得到结论；
（3）根据bn=-2an（n≥2），求出bn=，再用裂项法求和，即可证得结论．
（1）证明：∵-an=2Sn•Sn-1，∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3…）-----------（1分）
∴
又，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列---------------（4分）
（2）【解析】
由（1）得，∴
当n≥2时，
当n=1时，
∴--------------（8分）
（3）证明：由上知，=---------------（10分）
∴b2+b3+…+bn==．---------------（12分）