Question

对于函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（Ⅲ）写出（Ⅱ）中函数的单调区间，并用定义给出证明．

Answer

（1）由题意可得，2x-1≠0 可求函数的定义域
（2）由题意可得，化简可求a
（3）当a=1时，，只要现证明，x∈（0，+∞）时的单调性，然后根据奇函数对称区间上的单调性相同可知，任取x1，x2∈（0，+∞） 且x1＜x2 然后只要判断f（x1）与f（x2）的大小即可 证明
（1）【解析】
由题意可得，2x-1≠0 即x≠0 
∴定义域为{x|x≠0}
（2）【解析】
由f（x）是奇函数，则对任意x∈{x|x≠0} 

化简得（a-1）2x=a-1∴a=1 
∴a=1时，f（x）是奇函数
（3）当a=1时，的单调递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
证明：任取x1，x2∈（0，+∞） 且x1＜x2 则 
∵0＜x1＜x2 y=2x 在R上递增∴ 
∴，， 
∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x） 在（0，+∞） 上单调递减．同理：f（x） 在（-∞，0）上单调递减．
综上： 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞） 上单调递减．