Question

已知函数，定义使f（1）•f（2）…f（k）为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则在区间[1，2011]内这样的企盼数共有    个．

Answer

由已知中函数f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），由对数运算的性质易得f（1）•f（2）…f（k）=log2（k+2），若其值为整数，则k+2=2n（n∈Z），结合k∈[1，2011]，我们易得到满足条件的数的个数．
【解析】
∵函数f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），
∴f（1）=log23，
f（2）=log34
…
f（k）=logk+1（k+2），
∴f（1）•f（2）…f（k）=log23•log34…logk+1（k+2）
=•…==log2（k+2），
若f（1）•f（2）…f（k）为整数
则k+2=2n（n∈Z）
又∵k∈[1，2011]，
故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510，1022}
故答案为：9．