Question

“星光大道”是备受观众喜爱的央视栏目，现有3位周冠军A、B、C和甲、乙两位挑战者参加12月的月冠军比赛，比赛规则：第一轮甲、乙两位挑战者从3位周冠军中各选一位周冠军进行比赛，胜者进入第二轮比赛，未被选中的周冠军直接进入第二轮比赛，第二轮比赛从3位选手中淘汰一位选手，胜者进入第三轮比赛，第三轮比赛的胜者为月冠军．假设每轮比赛每位选手被淘汰的可能性相等．
（1）求周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛且至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率．
（2）求月冠军是挑战者的概率．
（3）设进入第三轮比赛的挑战者的人数ξ，求ξ的数学期望．

Answer

（1）周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛的概率为，至少有1位挑战者进入第二轮比赛的概率为，由此能求出周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛且至少有1位挑战者进入第二轮比赛的概率．
（2）由恰有1位挑战者进入第三轮比赛并在第三轮比赛中获胜的概率为，有2位挑战者进入第二轮比赛，但只有1位进入第三轮比赛并在第三轮比赛中获胜的概率为，由此能求出月冠军是挑战者的概率．
（3）由题意得ξ=0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望Eξ．
【解析】
（1）周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛的概率为，
至少有1位挑战者进入第二轮比赛的概率为，
∴周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛且至少有1位挑战者进入第二轮比赛的概率为．
（2）∵恰有1位挑战者进入第三轮比赛并在第三轮比赛中获胜的概率为，
有2位挑战者进入第二轮比赛，但只有1位进入第三轮比赛并在第三轮比赛中获胜的概率为，
有2位挑战者进入第二轮比赛并全部进入第三轮比赛的概率为
，
故月冠军是挑战者的概率为．
（3）由题意得ξ=0，1，2，
由（2）得P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=，
∴ξ的分布列如下表：

ξ 1 2
P

∴Eξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=．