Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，等比数列{b_n}，满足b₂=a₂，b₃=a₅，b₄=a₁₄．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项；
（2）设数列{c_n}满足c_n=2a_n-18，求数列{c_n}的前n项和S_n的最小值，并求出此时n的值．

Answer

（1）利用等差数列与等比数列的项数间的关系可求等差数列{an}的通项公式an=2n-1，等比数列{bn}的通项公式bn=3n-1；
（2）从数列{cn}的通项cn=2an-18=4n-20着手，由于c1=-16＜0令cn≤0可求得数列{cn}的前n项和Sn的最小值．
【解析】
（1）由题意得（1+4d）2=（1+d）（1+13d），d＞0解得d=2…（3分）
∴an=2n-1…（4分）
又b2=a2=3，b3=a5=9，
所以{bn}的公比为3，bn=3n-1…（6分）
（2）∵cn=2an-18=4n-20…（7分）
令cn≤0得n≤5…（9分）
所以当n=4或n=5时，sn取最小值-40…（12分）