Question

已知数列{a_n}中，，且a_n+1=（t+1）a_n-ta_n-1（n≥2）．
（1）若t≠1，求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）若，试比较与的大小．

Answer

（1）当t≠1时，an+1-an=t（an-an-1）（n≥2），故，由此能够证明{an+1-an}是首项为t2-t，公比为t的等比数列．
（2）当t≠1时，，即，故，，…，，将上列各等式相加得，由此能够得到．
（3）由，得，由，和，知2n＞tn，2t＞1，由此入手能够比较与的大小．
【解析】
（1）由已知得，当t≠1时，
an+1-an=t（an-an-1）（n≥2）…（2分）
∴，
又∵
∴{an+1-an}是首项为t2-t，公比为t的等比数列…（4分）
（2）由（1）得，当t≠1时，，
即（5分）
∴，，…，，
将上列各等式相加得，
∴…（6分）
当t=1时，an+1-an=an-an-1=…=a2-a1=0，
∴an=1
综上可知…（8分）
（3）由，
得…（9分）
∵，
又，
∴2n＞tn，2t＞1，
∴（2t）n＞1，
∴，
∴…（11分）
∴………
=
=．…（14分）