Question

已知函数f（x）=x²+4x+3，
（1）若g（x）=f（x）-cx为偶函数，求c．
（2）用定义证明：函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数；并写出该函数的值域．

Answer

（1）由题意可得g（-x）=g（x），代入可求c
（2）由（1）可得f（x），利用单调性的定义，要证明数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数，只要当-2≤x1＜x2 时有f（x2）＞f（x1）即可
故由已证f（x）在[-2，+∞）单调递增 可得f（x）min=f（-2）=-1可求
【解析】
（1）∵g（x）=f（x）-cx=x2+（4-c）x+3为偶函数
∴g（-x）=g（x）
∴（-x）2+（4-c）（-x）+3=x2+（4-c）x+3 …（2分）
∴4-c=-（4-c）     
∴c=4                    …（5分）
（2）证明：设-2≤x1＜x2 …（6分）
则f（x2）-f（x1）=
=（x1+x2）（x2-x1）+4（x2-x1）
=（x2-x1）（x1+x2+4）…（8分）
∵-2≤x1＜x2
∴x2-x1＞0且x1+x2+4＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0即f（x2）＞f（x1）
故 f（x）在[-2，+∞）单调递增                   …（10分）
f（x）min=f（-2）=-1
所以函数的值域为[-1，+∞）                       …（12分）