Question

已知函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？请判断并给予证明．

Answer

利用函数单调性的定义判断即可．任取x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则-x1＞-x2＞0，利用函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上为增函数，即可作出判断．
【解析】
f（x）在（-∞，0）上是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则-x1＞-x2＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（-x1）＞f（-x2），
又f（x）是偶函数，
∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2），
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数．