Question

某人要建造一面靠旧墙的矩形篱笆，地面面积为24m²、高为1m，旧墙需维修，其它三面建新墙，由于地理位置的限制，篱笆正面的长度x米，不得超过a米（a＞1），正面有一扇1米宽的门，其平面示意图如图．已知旧墙的维修费用为150元/m²，新墙的造价为450元/m²．
（Ⅰ）把篱笆总造价y元表示成x米的函数，并写出该函数的定义域；
（Ⅱ）当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

Answer

（I）篱笆由三部分构成，先表示出篱笆的宽，然后把篱笆总造价y元表示成x米的函数，根据篱笆正面的长度x米，不得超过a米，正面有一扇1米宽的门，可求出定义域；
（II）讨论a与6的大小，当a≥6时利用基本不等式进行求最值，当1＜a＜6时利用导数法求出最值，注意解题格式即可．
【解析】
（I）依题意得：（1＜x＜a）∴
（II）①当a≥6时，
当且仅当 即 x=6时取等号，此时总造价最低为3150元
②当1＜a＜6时，，x1=6，x2=-6∵1＜x＜a，且1＜a≤6
∴函数在（1，a）上为减函数
当x=a时，
答：当a≥6时，总造价最低为3150元；x=a时，总造价最低元