Question

已知函数f（x）=x³+2x²+bx+5
（Ⅰ）若函数f（x）在x=-2处有极值，求实数b的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer

（I）根据所给的函数的解析式，对函数求导，根据函数在-2出有极值，得到f'（-2）=0即12-8+b=0，得到b的值．
（II）函数在一个区间上是递增的函数，得到函数的导函数在这个区间上不小于0恒成立，问题转化成二次函数的恒成立问题．利用二次函数的性质来解．
【解析】
（I）∵f'（x）=3x2+4x+b
又∵f（x）在x=-2处有极值
∴f'（-2）=0即12-8+b=0，
∴b=-4经检验：b=-4满足题意
（II）∵函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增，
∴对任意x∈[-2，1]，f'（x）=3x2+4x+b≥0恒成立
∴b≥-3x2-4x恒成立，令
∵g（x）在上递增，在上递减
∴