Question

已知函数
（1）若曲线y=f（x）在x=2处的切线与直线x+y+2=0互相垂直，求a的值；
（2）若a≥1，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer

（1）先求出导函数f'（x），求出的值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1建立等式关系，解之即可求出a的值．
（2）根据导函数f′（x）＞0和f′（x）＜0求出x的范围，从而得到f（x）的单调区间，从而得出函数在[0，e]上的最大值；
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），显然t≠1．由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
【解析】
（1）∵x≥1时，，
由已知得．
a=2…（3分）
（2）因为，
①当0≤x≤1时，f'（x）=-x（3x-2），解f'（x）＞0得到；解f'（x）＜0得到．
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
从而f（x）在处取得极大值也是最大值． 所以f（x）在[0，1）上的最大值为．…（6分）
②当1≤x≤e时，f'（x）=alnx，因a≥1，所以f（x）在[1，e]上单调递增，
从而f（x）在[1，e]处取得极大值也是最大值f（e）=a，
因为a＞，所以，若a≥1，f（x）在[0，e]上的最大值为a．…（9分）．
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1．
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以=0，
即：-t2+f（t）•（t3+t2）=0（1）…（10分）
是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2，代入方程（1）得：t4-t2+1=0，此方程无实数解．
若t≥1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到：=（t+1）lnt，（12分）
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h'（x）=lnx++1＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，
所以当a＞0时，方程=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解．
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，
使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．（14分）